Parametrik denklemler, açılar, uzaklıklar; küre, silindir, koni ve temel kuadriklerin kesitleri.
Bir doğrunun tek bir başlangıç noktası \(P_0\) ve sıfır olmayan bir doğrultu vektörü \(\mathbf u\) bilinirse tüm noktaları bir parametreyle üretilir. İki nokta verilmişse yön olarak aralarındaki fark alınır. Aynı doğru için başlangıç noktası veya yönün sıfır olmayan katı değişebilir.
\(a,b,c\) sıfır değilse \((x-x_0)/a=(y-y_0)/b=(z-z_0)/c\) simetrik biçimi elde edilir. Bir bileşen sıfırsa ona ait koordinat sabittir. Örneğin \(b=0\) ise \(y=y_0\) ayrıca yazılır; sıfıra bölme yapılmaz.
\(A=(0,1,2)\), \(B=(3,1,-1)\) doğrusunu bulunuz.
\(A=(1,2,3)\) noktasından geçen ve \((2,3,0)\) yönüne paralel doğruyu yazınız.
İki doğru karşılaştırılırken ilk adım yön vektörlerini karşılaştırmaktır. Paralel yönler için bir doğrunun noktası ötekinin üzerinde de bulunuyorsa doğrular çakışıktır. Paralel olmayan yönlerde kesişim için iki parametreli üç denklem çözülür. Çözüm yoksa doğrular aykırıdır.
Tahtada \(x/1=y/1=z/0\) ve \((x-1)/1=y/(-1)=z/0\) ile belirtilen doğruların açısı nedir?
Bir düzlemin içinde pek çok doğrultu vardır; bunların tümüne dik olan bir normal vektör düzlemin yönelimini belirler. \(P_0\) düzlem üzerinde ve \(\mathbf n=(A,B,C)\ne\mathbf0\) normal ise her \(P\) noktası için \(\overrightarrow{P_0P}\cdot\mathbf n=0\) yazılır.
Üç nokta verildiğinde aynı başlangıçtan çıkan iki fark vektörünün vektörel çarpımı normal olur. Çarpım sıfırsa noktalar doğrudaştır ve tek bir düzlem belirlemez. Bulunan denklemi her üç noktada denemek iyi bir hata kontrolüdür.
\(A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)\) noktalarından geçen düzlemi bulunuz.
\(A=(2,3,4)\) noktasından geçen, normali \((1,3,4)\) olan düzlemi bulunuz.
Doğruyu düzlemde yerine koyunca parametre için tek bir lineer denklem çıkar. \(\mathbf n\cdot\mathbf u\ne0\) ise tek kesişim vardır. \(\mathbf n\cdot\mathbf u=0\) ise doğru düzleme paraleldir; başlangıç noktası denklemi sağlıyorsa doğru düzlemin içindedir.
\((x-2)/1=y/2=(z+1)/(-1)\) doğrusu ile \(x-y+2z=3\) düzleminin kesişimi nedir?
Paralel olmayan iki düzlemin kesişim doğrusunun yönü \(\mathbf n_1\times\mathbf n_2\) olur. Bir koordinatı uygun seçip kalan iki denklemi çözerek doğru üzerinde bir nokta bulunur. İki normal paralelse kesişim bir doğru olamaz; düzlemler çakışık veya ayrık paraleldir.
\(x+y+z=2\) ve \(x-y+z=0\) düzlemlerinin kesişimini yazınız.
| Geometrik çift | İlişkilendirilecek vektör | Formül |
|---|---|---|
| Doğru - doğru | İki yön | \(\cos\varphi=|\mathbf u\cdot\mathbf v|/(\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|)\) |
| Düzlem - düzlem | İki normal | \(\cos\varphi=|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|/(\|\mathbf n_1\|\|\mathbf n_2\|)\) |
| Doğru - düzlem | Yön ve normal | \(\sin\varphi=|\mathbf u\cdot\mathbf n|/(\|\mathbf u\|\|\mathbf n\|)\) |
Doğru ile düzlem açısında sinüs kullanılmasının nedeni, yönle normal arasındaki dar açıya tümleyen olmasıdır. Doğru düzleme paralelse \(\mathbf u\cdot\mathbf n=0\) ve açı 0; düzleme dikse \(\mathbf u\parallel\mathbf n\) ve açı \(90^\circ\) çıkar. İki düzlemin dikliği normal vektörlerin dikliğidir.
Uzaklık her zaman en kısa, dolayısıyla dik bağlantının uzunluğudur. Nokta-doğru uzaklığında \(\overrightarrow{AP}\) ile yön vektörünün oluşturduğu paralelkenarın alanı tabana bölünür. Nokta-düzlem uzaklığında ise \(\overrightarrow{P_0P}\) normal doğrultusuna izdüşürülür.
\(P=(2,3,-1)\) noktasının \((x-1)/1=(y-2)/1=(z-13)/4\) doğrusuna uzaklığını bulunuz.
\(P=(1,0,2)\) noktasının \(x+2y-2z+4=0\) düzlemine uzaklığı nedir?
Paralel düzlemler aynı normal katsayılarıyla yazılmışsa \(d=|D_2-D_1|/\|\mathbf n\|\). Katsayılar yalnızca orantılıysa önce aynı normale dönüştür. Aykırı doğrular için \(d=|(\mathbf r_2-\mathbf r_1)\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)|/\|\mathbf u\times\mathbf v\|\); bu son bağıntı paralel doğrularda kullanılmaz.
Küre, bir merkezden eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Genel denklemde üç kare teriminin katsayısı aynı ve çapraz terimler yoksa kareye tamamlama ile merkez ve yarıçap okunabilir. Sabit terimden yarıçapın karesini yanlış işaretle çıkarmamak için her koordinatı ayrı düzenle.
\(x^2+y^2+z^2+4x-6y+2z-11=0\) küresinin merkezi ve yarıçapı nedir?
Bir denklemde bir koordinat hiç görünmüyorsa düzlemdeki eğri o koordinat boyunca taşınır. Örneğin \(x^2+y^2=4\), \(z\) eksenine paralel dairesel silindirdir; \(z=y^2\), \(x\) doğrultusunda uzayan parabolik silindirdir. Silindirin mutlaka dairesel olması gerekmez.
| Yüzey | Standart örnek | Ayırt edici özellik |
|---|---|---|
| Elipsoid | \(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1\) | Üç kare de pozitif; kapalı. |
| Tek kanatlı hiperboloid | \(x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1\) | Bir eksi; eksi işaretli eksen boyunca tek parça. |
| Çift kanatlı hiperboloid | \(-x^2/a^2-y^2/b^2+z^2/c^2=1\) | İki eksi; artı işaretli eksende iki parça. |
| Eliptik koni | \(z^2/c^2=x^2/a^2+y^2/b^2\) | Sıfır seviyesi; iki kanat tepe noktasında birleşir. |
| Eliptik paraboloid | \(z=x^2/a^2+y^2/b^2\) | Yatay kesit elips; dikey kesit parabol. |
| Hiperbolik paraboloid | \(z=x^2/a^2-y^2/b^2\) | Eyer; iki ana doğrultuda ters bükülme. |
P=(2,3,5) noktasından geçen, \((x-1)/4=(y-2)/(-1)=(z+1)/6\) doğrusuna dik düzlemi bulunuz.
A=(2,3,-5) noktasından geçen, normali (7,3,4) olan düzlemi yazınız.
\((x-1)/2=(y-1)/(-1)=z/3\) doğrusu ile \(2x+3y+z+11=0\) düzleminin kesişimi nedir?
\(x+y+z=3\) ve \(x-y+z=1\) düzlemlerinin arakesitini bulunuz.
\(x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-2=0\) küresinin merkezi ve yarıçapını bulunuz.
\(x^2+y^2-z^2=1\) ve \(z^2-x^2-y^2=1\) neden farklıdır?
\(z=4-x^2-y^2\) yüzeyinin tepesini, açılma yönünü ve \(z=0\) kesitini bulunuz.