\(z=f(x,y)\) ve \(x=x(t),y=y(t)\) ise t değişince z iki yoldan etkilenir. Her yol üzerindeki türevler çarpılır ve yollar toplanır. Önce hangi değişkenin hangisine bağlı olduğunu çizmek, eksik terimleri önler. f nin türevleri \((x(t),y(t))\) noktasında değerlendirilir.
İkinci formülde \(f_xx\prime\) ifadesi \(f_x\,x\prime\) çarpımıdır; ikinci kısmi türev \(f_{xx}\) ile karıştırılmamalıdır. Bütün ara değişkenler aynı parametreye bağlıysa d/dt kullanılır.
\(z=xy\), \(x=\cos t,y=\sin t\). dz/dt yi bulunuz.
Adım adım çözümü göster
\(z_x=y,z_y=x\). Böylece \(z\prime=\sin t(-\sin t)+\cos t\cos t=\cos^2t-\sin^2t\).
Doğrudan \(z=\tfrac12\sin2t\) türevi de \(\cos2t\), aynı sonuçtur.
6.2
İki yeni değişkene bağlı zincir kuralı
\(z=f(x(u,v),y(u,v))\) olduğunda u ve v bağımsız yeni değişkenlerdir. u ya göre türev alırken v sabit tutulur. Aynı dış fonksiyonun farklı iç yolları katkı verir. Daha çok ara değişken varsa her biri için bir terim eklenir.
Bu formüllerde \(f_xx_u\), \(f_x\,x_u\) çarpımıdır. Matris biçimi \(D(f\circ g)=Df(g)Dg\) ile aynı düzeni ifade eder. Çarpım sırası, önce iç değişkenlerin değişimi sonra dış fonksiyonun etkisi uygulanacak biçimdedir.
Doğrudan \(S=\ln2+2\ln(u+v)\) aynı sonucu verir. \(u,v>0\) seçimi kökün içte türevlenmesini ve logaritmanın tanımını güvenceye alır.
6.3
Hem doğrudan hem dolaylı bağımlılık
Bazen bir değişken hem f içinde doğrudan görünür hem de ara değişkenlerin içinde yer alır. Örneğin \(z=f(x,y)\), \(y=y(x)\) ise f nin x e doğrudan katkısı da eklenmelidir. Yalnızca dolaylı yolu almak bir terimi kaybettirir.
\(z_v=-e^{\sin u/(u^2v)}\sin u/(u^2v^2)\). İç ifadeyi önce sadeleştirip türev almak da kontrol yöntemidir.
6.4
Kapalı fonksiyonlarda türev
\(F(x,y)=0\) denklemi y yi açıkça çözmeden yerel olarak y(x) tanımlayabilir. F bir komşulukta sürekli birinci türevlere sahipse ve \(F_y\ne0\) ise kapalı fonksiyon teoremi bu yerel çözümü güvenceye alır. Türev alınırken y nin de x e bağlı olduğu unutulmamalıdır.
Üç değişkende \(F(x,y,z)=0\), z yi yerel olarak z(x,y) tanımlıyorsa x türevinde y sabit, y türevinde x sabit tutulur. Sürekli birinci türevler ve \(F_z\ne0\) koşuluyla aşağıdaki formüller geçerlidir.
\(F=x^2+y^2+z^2-9\), gradyanı \((2x,2y,2z)\). Noktada normal \((2,4,4)\).
\(2(x-1)+4(y-2)+4(z-2)=0\), yani \(x+2y+2z=9\). Bu normal merkezden noktaya giden yarıçapla paraleldir.
6.5
İkinci türevde zincir kuralı
Bir değişken dönüşümünde ikinci türev alınırken ilk zincir toplamının hem katsayıları hem türevleri değişir. Bu nedenle iç fonksiyonların ikinci türevleri de ortaya çıkar. \(x=x(t),y=y(t)\) için sürekli ikinci türevler varsayımıyla:
\(x=e^t\) dönüşümü altında \(x^2y_{xx}+xy_x-y=0\) denklemini t değişkenine dönüştürünüz.
Adım adım çözümü göster
\(dt/dx=1/x\). Dolayısıyla \(y_x=y_t/x\).
Yeniden x türevi: \(y_{xx}=(y_{tt}-y_t)/x^2\). Burada hem \(y_t\) hem \(1/x\) türevlenir.
Denklem \((y_{tt}-y_t)+y_t-y=0\), yani \(y_{tt}-y=0\) olur. Dönüşüm \(x>0\) için geçerlidir.
6.6
Gradyan: türevleri bir vektörde toplamak
Bir skaler alanın gradyanı kısmi türevlerden oluşan vektördür. Sıcaklık alanında her noktada hangi yöne gidildiğinde sıcaklığın daha hızlı arttığını anlatır. Skaler alan sayısal değer verir; onun gradyanı bir vektör alanıdır. Bu fark, birim ve boyut kontrolü için önemlidir.
Türevlenebilirlik altında küçük bir \(\mathbf h\) yer değiştirmesi için \(f(P+\mathbf h)-f(P)\approx\nabla f(P)\cdot\mathbf h\). Böylece önceki bölümdeki tam diferansiyel, gradyanın yer değiştirmeyle skaler çarpımıdır. Gradyanın bileşenleri, koordinat eksenlerindeki değişim hızlarıdır.
6.7
Yönlü türev ve yönü birimleştirme
Kısmi türev yalnız eksenler boyunca değişimi ölçerken yönlü türev seçilen herhangi bir birim yönde birim uzunluk başına değişimi ölçer. \(\mathbf u\) birim olmak zorundadır. Yön \(\mathbf v\) olarak verilirse önce \(\mathbf v/\|\mathbf v\|\) alınır. P den Q ya yön sorulursa vektör Q-P dir.
Son eşitlik f nin P de türevlenebilirliği altında geçerlidir. Yalnızca kısmi türevlerin varlığını bilmek yeterli değildir. Birim olmayan vektörle skaler çarpım, o parametrizasyonun hızını da içerir; standart yönlü türevle aynı sayı olmayabilir.
6.9Pekiştirme
Birim olmayan yönden yönlü türev
\(f(x,y)=x^2y+3y\), \(P=(1,2)\), yön \(\mathbf v=(3,4)\). Yönlü türev nedir?
Birimleştirmeden alınan 28 sonucu, parametre hızını 5 katına çıkarır ve bu sorunun istediği birim uzunluk başına türev değildir.
6.10Pekiştirme
P den Q ya doğru değişim
\(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), \(P=(1,0,2)\), \(Q=(3,1,4)\). P de Q yönündeki türev nedir?
Adım adım çözümü göster
\(Q-P=(2,1,2)\), norm 3; birim yön \((2,1,2)/3\). \(\nabla F(P)=(2,0,4)\).
Skaler çarpım \((4+0+8)/3=4\). Sonucun pozitif olması bu yönde ilk anda alan değerinin arttığını gösterir.
6.8
En hızlı artış, azalış ve değişmeyen yön
Sıfır olmayan gradyan için \(D_{\mathbf u}f=\|\nabla f\|\cos\theta\). En büyük kosinüs 1, en küçük -1 olduğundan en hızlı artış gradyan yönündedir. Gradyana dik yönlerde birinci mertebeden değişim sıfırdır. Bu, fonksiyonun o doğrultuda her uzaklıkta sabit kalacağı anlamına gelmez.
\(f(x(t),y(t))=c\) seviye eğrisi boyunca sabittir. Zincir kuralıyla \(0=f_xx\prime+f_yy\prime=\nabla f\cdot\mathbf r\prime\). Dolayısıyla sıfır olmayan gradyan eğrinin teğetine diktir. Üç boyutta aynı kanıt seviye yüzeyi üzerindeki bütün teğet yönler için geçerlidir.
Gradyan \((2,4)\) teğete normaldir. \(2(x-1)+4(y-1)=0\), yani \(x+2y=3\).
Bu doğrultu önceki örnekteki sıfır yönlü türev doğrultusuyla aynıdır. Teğet doğrusu eğriye yalnızca yerel olarak yaklaşır.
6.10
Bütün konuları bağlayan çözüm stratejisi
Değişkenlerin bağımlılıklarını önce yaz; her bağımsız yolun katkısını ekle.
Kapalı türevde önce noktayı tamamla, sonra paydadaki türevin sıfır olmadığını denetle.
Yönlü türevde yönü birimleştir; türevlenebilirlik koşulunu kontrol et.
En hızlı artış yön sorusudur, en hızlı artış hızı ise norm sorusudur.
Seviye yüzeyinde gradyanı normal olarak kullan; noktanın yüzeyde olduğunu doğrula.
6.13Pekiştirme
Birleşik pekiştirme
\(f(x,y)=e^{x-y}\), P=(0,0). P de teğet düzlem, \((1,1)\) yönünde türev ve en hızlı artış yönünü bulunuz.
Adım adım çözümü göster
\(f(P)=1,\nabla f(P)=(1,-1)\). Grafik üzerindeki teğet düzlem \(z=1+x-y\).
Birim yön \((1,1)/\sqrt2\); yönlü türev 0. En hızlı artış yönü \((1,-1)/\sqrt2\), artış hızı \(\sqrt2\).
\(x=y\) doğrusu üzerinde fonksiyon gerçekten 1 dir. Bu örnekte sıfır türev sabit seviye doğrultusuna karşılık gelir; her fonksiyonda böyle küresel bir sonuç çıkarılmaz.
