89 çözümlü örnek. Çıkmış sınav sorusu yerine ders fotoğraflarındaki örnekler ve özgün pekiştirme soruları.
Birim vektör \(\mathbf u=(3,4)\) yönündeki birim vektörü bulunuz.
Adım adım çözümü göster Önce norm alınır: \(\|\mathbf u\|=\sqrt{9+16}=5\). Her bileşeni 5 ile bölünce \(\widehat{\mathbf u}=(3/5,4/5)\) elde edilir. Norm kontrolü \(9/25+16/25=1\) verir. Ters yöndeki birim vektör bunun negatifidir. Dersteki açı sorusu \(\mathbf u=(2,-1,3)\) ve \(\mathbf v=(1,4,2)\) dik midir? \(\cos\theta\) nedir?
Adım adım çözümü göster \(\mathbf u\cdot\mathbf v=2-4+6=4\). Çarpım sıfır olmadığından dik değildirler. \(\|\mathbf u\|=\sqrt{14}\), \(\|\mathbf v\|=\sqrt{21}\). Dolayısıyla \(\cos\theta=4/\sqrt{294}\). Pozitif sonuç açının dar olduğunu doğrular. 1.3 Pekiştirme
İzdüşüm hesabı \(\mathbf u=(2,1,2)\) vektörünü \(\mathbf v=(1,0,1)\) doğrultusuna izdüşürünüz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf u\cdot\mathbf v=4\), \(\|\mathbf v\|^2=2\). Bu yüzden izdüşüm \(2(1,0,1)=(2,0,2)\). Dik kalan \((0,1,0)\) olur ve \((0,1,0)\cdot(1,0,1)=0\). Skaler bileşen \(4/\sqrt2=2\sqrt2\). Tahtadaki vektörel çarpım \(\mathbf u=(1,2,3)\), \(\mathbf v=(2,0,1)\) için \(\mathbf u\times\mathbf v\) bulunuz.
Adım adım çözümü göster Bileşenler \((2\cdot1-3\cdot0,\,3\cdot2-1\cdot1,\,1\cdot0-2\cdot2)\) şeklindedir. Sonuç \((2,5,-4)\). Diklik kontrolleri: \((2,5,-4)\cdot(1,2,3)=2+10-12=0\) ve \((2,5,-4)\cdot(2,0,1)=4-4=0\). Alan \(\sqrt{45}=3\sqrt5\), üçgen alanı \(3\sqrt5/2\). 1.5 Pekiştirme
Hacim ve bağımsızlık \(\mathbf u=(1,0,0),\mathbf v=(0,2,0),\mathbf w=(1,1,3)\) için hacim ve bağımsızlık nedir?
Adım adım çözümü göster \(\mathbf v\times\mathbf w=(6,0,-2)\); \(\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)=6\). Paralelyüzlü hacmi 6, dörtyüzlü hacmi 1 birim küptür. Determinant sıfır olmadığından bu üç vektör lineer bağımsızdır ve \(\mathbb R^3\) için baz oluşturur. Düzlemde bağımlı vektörler \(\mathbf u=(1,2)\), \(\mathbf v=(-3,-6)\) bağımsız mıdır?
Adım adım çözümü göster \(\mathbf v=-3\mathbf u\). Bu nedenle \(3\mathbf u+\mathbf v=\mathbf0\), sıfırdan farklı katsayılarla sağlanır. Doğrultuları aynı olduğu için birlikte düzlemi germezler; yalnızca bir doğruyu gererler. Düzlemde baz \(\mathbf u=(2,-3)\), \(\mathbf v=(-5,4)\) düzlem için baz mıdır?
Adım adım çözümü göster Determinant \(2\cdot4-(-3)(-5)=8-15=-7\ne0\). Dolayısıyla bağımsızdırlar ve bazdırlar. Her \((x,y)\), \(\alpha\mathbf u+\beta\mathbf v\) olarak tek biçimde yazılır. Denklem sistemi çözülürse \(\alpha=-(4x+5y)/7\), \(\beta=-(3x+2y)/7\). Yerine koyma her iki koordinatı doğrular. 1.8 Pekiştirme
Pekiştirme \(\mathbf a=(1,1,0),\mathbf b=(1,-1,2)\) için diklik, birim vektör ve paralelkenar alanını bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf a\cdot\mathbf b=0\), dolayısıyla diktirler. \(\widehat{\mathbf a}=(1,1,0)/\sqrt2\). \(\mathbf a\times\mathbf b=(2,-2,-2)\); alan \(2\sqrt3\). Ayrıca dik vektörlerde alan \(\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|=\sqrt2\sqrt6=2\sqrt3\), aynı sonucu verir. İki noktadan geçen doğru \(A=(0,1,2)\), \(B=(3,1,-1)\) doğrusunu bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\overrightarrow{AB}=(3,0,-3)\), bunun yerine \((1,0,-1)\) kullanılabilir. \(x=t,\ y=1,\ z=2-t\). Kartezyen biçim \(x=2-z,\ y=1\). Parametre 0 iken A, 3 iken B elde edilir. Nokta ve paralel vektör \(A=(1,2,3)\) noktasından geçen ve \((2,3,0)\) yönüne paralel doğruyu yazınız.
Adım adım çözümü göster \(x=1+2t,\ y=2+3t,\ z=3\). Simetrik gösterim \((x-1)/2=(y-2)/3\), ayrıca \(z=3\). İki denklem uzayda tek doğruyu belirler. Tahtadaki sıfır paydalı gösterim Tahtada \(x/1=y/1=z/0\) ve \((x-1)/1=y/(-1)=z/0\) ile belirtilen doğruların açısı nedir?
Adım adım çözümü göster Bu gösterimde \(z/0\) gerçek bir bölüm değildir; \(z=0\) kısıtının kısa yazımı olarak yorumlanır. Parametrik biçimler \((t,t,0)\) ve \((1+s,-s,0)\) olur. Yönler \((1,1,0)\), \((1,-1,0)\), çarpımları 0. \(t=1+s=-s\) den \(t=1/2,s=-1/2\); kesişim \((1/2,1/2,0)\). Dolayısıyla açı \(90^\circ\). Koordinat eksenlerini kesen düzlem \(A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)\) noktalarından geçen düzlemi bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)\). Çarpımları \((1,1,1)\). \((x-1)+y+z=0\), yani \(x+y+z=1\). Üç nokta da denklemi sağlar. Nokta ve normal ile düzlem \(A=(2,3,4)\) noktasından geçen, normali \((1,3,4)\) olan düzlemi bulunuz.
Adım adım çözümü göster \((x-2)+3(y-3)+4(z-4)=0\). Düzenlenince \(x+3y+4z-27=0\). Normalin herhangi bir sıfır olmayan katı aynı düzlemi verir. Dersteki doğru-düzlem kesişimi \((x-2)/1=y/2=(z+1)/(-1)\) doğrusu ile \(x-y+2z=3\) düzleminin kesişimi nedir?
Adım adım çözümü göster \(x=2+t,\ y=2t,\ z=-1-t\) yazılır. Yerine koyunca \((2+t)-2t+2(-1-t)=3\), yani \(-3t=3\). \(t=-1\) ile nokta \((1,-2,0)\). Kontrol: \(1-(-2)+0=3\). 2.7 Pekiştirme
İki düzlemin arakesiti \(x+y+z=2\) ve \(x-y+z=0\) düzlemlerinin kesişimini yazınız.
Adım adım çözümü göster Denklemleri çıkarınca \(2y=2\), yani \(y=1\). Sonra \(x+z=1\). \(x=t\) seçilirse \(\mathbf r(t)=(t,1,1-t)\). Yön \((1,0,-1)\), normallerin vektörel çarpımına paraleldir. Tahtadaki nokta-doğru uzaklığı \(P=(2,3,-1)\) noktasının \((x-1)/1=(y-2)/1=(z-13)/4\) doğrusuna uzaklığını bulunuz.
Adım adım çözümü göster Doğru üzerinde \(A=(1,2,13)\), yön \(\mathbf u=(1,1,4)\). \(\overrightarrow{AP}=(1,1,-14)\). \(\overrightarrow{AP}\times\mathbf u=(18,-18,0)\); normu \(18\sqrt2\). Yönün normu \(\sqrt{18}=3\sqrt2\). Uzaklık 6. Çalışma sorusu: nokta-düzlem uzaklığı \(P=(1,0,2)\) noktasının \(x+2y-2z+4=0\) düzlemine uzaklığı nedir?
Adım adım çözümü göster Pay \(|1+0-4+4|=1\), payda \(\sqrt{1+4+4}=3\). Uzaklık \(1/3\). Dik izdüşüm noktası \(H=P-\frac{1}{9}(1,2,-2)=(8/9,-2/9,20/9)\). Denkleme koyunca sıfır çıkar ve \(\|P-H\|=1/3\). Dersteki küre sorusu \(x^2+y^2+z^2+4x-6y+2z-11=0\) küresinin merkezi ve yarıçapı nedir?
Adım adım çözümü göster \((x+2)^2-4+(y-3)^2-9+(z+1)^2-1-11=0\). \((x+2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=25\). Merkez \((-2,3,-1)\), yarıçap 5. Doğruya dik düzlem P=(2,3,5) noktasından geçen, \((x-1)/4=(y-2)/(-1)=(z+1)/6\) doğrusuna dik düzlemi bulunuz.
Adım adım çözümü göster Doğrunun yönü \((4,-1,6)\), istenen düzlemin normalidir. \(4(x-2)-(y-3)+6(z-5)=0\). Denklem \(4x-y+6z-35=0\). P yi yerine koyunca sıfır, doğru yönüyle normalin paralelliği ise dikliği doğrular. Aynı yöntemin ikinci örneği A=(2,3,-5) noktasından geçen, normali (7,3,4) olan düzlemi yazınız.
Adım adım çözümü göster \(7(x-2)+3(y-3)+4(z+5)=0\). Sonuç \(7x+3y+4z-3=0\). Üçüncü koordinat -5 olduğu için parantezde z+5 gelir. Tahtadaki ikinci kesişim örneği \((x-1)/2=(y-1)/(-1)=z/3\) doğrusu ile \(2x+3y+z+11=0\) düzleminin kesişimi nedir?
Adım adım çözümü göster \(x=1+2t,y=1-t,z=3t\). Yerine koyunca \(2+4t+3-3t+3t+11=0\), yani \(4t+16=0\). t=-4, kesişim \((-7,5,-12)\). Kontrol \(-14+15-12+11=0\). İki düzlemin arakesiti: tahta örneği \(x+y+z=3\) ve \(x-y+z=1\) düzlemlerinin arakesitini bulunuz.
Adım adım çözümü göster Çıkarınca y=1. z=0 seçilirse x=2; nokta (2,1,0). Normal çarpımı (2,0,-2), eşdeğer yön (1,0,-1). Doğru \((x,y,z)=(2,1,0)+t(1,0,-1)\). Her iki düzlem denklemine de tüm t ler için uyar. Defterdeki ikinci küre \(x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-2=0\) küresinin merkezi ve yarıçapını bulunuz.
Adım adım çözümü göster \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16\). Merkez (1,2,3), yarıçap 4. Tam kareler açıldığında sabit 14, sağdan taşınan 16 ile -2 elde edilmesi kontrol sağlar. 2.16 Pekiştirme
İki yüzeyin kesitlerini karşılaştır \(x^2+y^2-z^2=1\) ve \(z^2-x^2-y^2=1\) neden farklıdır?
Adım adım çözümü göster İlkinde \(z=k\) için \(x^2+y^2=1+k^2\). Her k için çember vardır; en dar kesit \(z=0\) düzlemindedir. Tek kanatlı hiperboloid. İkincide \(x^2+y^2=k^2-1\). \(|k|<1\) için kesit yok; \(k=\pm1\) için bir nokta, dışarıda çember vardır. Çift kanatlı hiperboloid. 2.17 Pekiştirme
Pekiştirme: yüzeyi tanı \(z=4-x^2-y^2\) yüzeyinin tepesini, açılma yönünü ve \(z=0\) kesitini bulunuz.
Adım adım çözümü göster Tepe \((0,0,4)\), karelerin katsayıları negatif olduğundan aşağı açılan eliptik paraboloid. \(z=0\) kesiti \(x^2+y^2=4\), yarıçapı 2 olan çember. \(z>4\) için kesit yoktur. Defterdeki tanım kümesi örneği \(\mathbf F(t)=(t+1,\ln(1-t),\sqrt{4-t^2})\) için tanım kümesini bulunuz.
Adım adım çözümü göster İlk bileşen tüm gerçek sayılarda tanımlıdır. Logaritma için \(1-t>0\), yani \(t<1\). Karekök için \(-2\le t\le2\). Koşulları birlikte sağlamak gerekir: \(I=[-2,1)\). \(-2\) kabul edilir, çünkü kök sıfır olabilir; 1 kabul edilmez, çünkü logaritma argümanı sıfır olamaz. Vektör fonksiyonlarıyla işlemler \(\mathbf F=(t,t^2,t^3)\), \(\mathbf G=(1-t,1+t^2,t)\). Toplamı, skaler ve vektörel çarpımı bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf F+\mathbf G=(1,1+2t^2,t^3+t)\). \(\mathbf F\cdot\mathbf G=t(1-t)+t^2(1+t^2)+t^4=t+2t^4\). \(\mathbf F\times\mathbf G=(-t^5,t^3-t^4-t^2,t+2t^3-t^2)\). Her bileşen determinant açılımından gelir. Defterdeki limit işlemleri \(\mathbf F(t)=(\sin t,\cos t,1+t)\), \(\mathbf G(t)=(\cos2t,\sin3t,e^t+1)\) için t sıfıra giderken skaler ve vektörel çarpım limitlerini bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf F\to(0,1,1)\), \(\mathbf G\to(1,0,2)\). Skaler çarpım limiti \((0,1,1)\cdot(1,0,2)=2\). Vektörel çarpım limiti \((0,1,1)\times(1,0,2)=(2,1,-1)\). Tam kısım içeren süreklilik \(\mathbf F(t)=(|t|+1,t\lfloor t\rfloor,2+t^2)\) fonksiyonu 0 ve 1 noktalarında sürekli midir?
Adım adım çözümü göster İlk ve üçüncü bileşen her yerde süreklidir. İkinci bileşen 0 yakınında solda \(-t\), sağda 0 olur; iki yandan limit 0, değer de 0. Dolayısıyla 0 noktasında süreklidir. 1 yakınında solda ikinci bileşen 0, sağda t olur. Limitler 0 ve 1 olduğundan 1 noktasında süreksizdir. Çember ve helis \(\mathbf r(t)=(a\cos t,a\sin t,0)\) ile \(\mathbf h(t)=(\cos t,\sin t,3t)\) eğrilerini yorumlayınız.
Adım adım çözümü göster İlkinde \(x^2+y^2=a^2\), \(z=0\). \(a>0\) ve \(0\le t\le2\pi\) için pozitif z yönünden bakıldığında çember saat yönünün tersine bir tur taranır. İkincide \(x^2+y^2=1\); yükseklik t ile artar. Bir turda t, \(2\pi\) artar ve yükseklik \(6\pi\) değişir. Bu eğri bir helistir. Parçalı düzgün eğri \(\mathbf r(t)=(a\cos t,a|\sin t|,0)\), \(-2\pi\le t\le2\pi\), \(a>0\) için düzgünlük nasıldır?
Adım adım çözümü göster \(\sin t\) işaret değiştirdiğinde mutlak değerin türevi değişir. \(t=k\pi\) noktalarında tek taraflı teğet vektörler uyuşmaz; verilen parametrizasyon düzgün değildir. Aradaki açık aralıklarda türev vardır ve normu a olur. Dolayısıyla sonlu sayıda parçaya ayrılarak parçalı düzgün kabul edilir. İz üst yarım çemberdir; birden fazla kez taranır. Dersteki temel türevler \(\mathbf F(t)=(t,t^2,t^3)\) ve \(\mathbf G(t)=(t\ln t-t,e^t,e^{-t})\) türevlerini bulunuz.
Adım adım çözümü göster Bileşenler ayrı türevlenir: \(\mathbf F\prime=(1,2t,3t^2)\). İkinci fonksiyonun ilk bileşeninde çarpım kuralı \((t\ln t-t)\prime=\ln t+1-1=\ln t\) verir. \(\mathbf G\prime=(\ln t,e^t,-e^{-t})\), \(t>0\). Zincir kuralı içeren vektör türevi \(\mathbf F(t)=(\arcsin(4t),-3\arctan(2t-1),7\ln(3t^2))\) türevini bulunuz.
Adım adım çözümü göster İlk bileşenin türevi \(4/\sqrt{1-16t^2}\); ikincinin türevi \(-6/[1+(2t-1)^2]\). Üçüncü bileşen \(7(6t)/(3t^2)=14/t\). Türev formüllerinin ortak geçerlilik aralığı \(-1/4<t<1/4\), \(t\ne0\). Fonksiyon uçlarda tanımlı olsa da bu türevler uçlarda sonlu değildir. Tahtadaki özdeşliğin kanıtı \([\mathbf F(t)\times\mathbf F\prime(t)]\prime=\mathbf F(t)\times\mathbf F\prime\prime(t)\) olduğunu gösteriniz.
Adım adım çözümü göster Çarpım kuralı sol tarafı \(\mathbf F\prime\times\mathbf F\prime+\mathbf F\times\mathbf F\prime\prime\) yapar. Bir vektörün kendisiyle vektörel çarpımı sıfırdır. İlk terim silinince istenen özdeşlik kalır. Başlangıç koşullu integral \(\mathbf r\prime(t)=(2t,e^{3t},4\sin2t)\), \(\mathbf r(0)=(2,1,-2)\). Konumu bulunuz.
Adım adım çözümü göster İntegral \(\mathbf r(t)=(t^2+C_1,e^{3t}/3+C_2,-2\cos2t+C_3)\). Başlangıçtan \(C_1=2,C_2=2/3,C_3=0\). Dolayısıyla \(\mathbf r(t)=(t^2+2,(e^{3t}+2)/3,-2\cos2t)\). Dersteki belirli integral üçlüsü \(\int_0^1(4t^3,3,2(t+1))dt\), \(\int_1^2(6-6t,3\sqrt t,4/t^2)dt\) ve \(\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(\sin t,1+\cos t,\sec^2t)dt\) hesaplayınız.
Adım adım çözümü göster İlkinde ilkel fonksiyon \((t^4,3t,t^2+2t)\). Sonuç \((1,3,3)\). İkincide ilkel fonksiyon \((6t-3t^2,2t^{3/2},-4/t)\). Sonuç \((-3,4\sqrt2-2,2)\). Üçüncüde sinüs tek fonksiyon olduğundan ilk bileşen 0. İkinci \(\pi/2+\sqrt2\), üçüncü \(\tan(\pi/4)-\tan(-\pi/4)=2\). Dersteki 5-12-13 helisi \(\mathbf r(t)=(5\cos t,5\sin t,12t)\), \(0\le t\le2\pi\), uzunluğunu bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf r\prime=(-5\sin t,5\cos t,12)\); norm \(\sqrt{25\sin^2t+25\cos^2t+144}=13\). \(L=\int_0^{2\pi}13dt=26\pi\). Bu aralıkta \(s=13t\) olduğundan yay parametreli biçim \((5\cos(s/13),5\sin(s/13),12s/13)\), \(0\le s\le26\pi\). Çemberin Frenet çatısı \(\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,0)\) için \(\mathbf T,\mathbf N,\mathbf B\) nedir?
Adım adım çözümü göster \(\mathbf r\prime=(-\sin t,\cos t,0)\) normu 1 olduğundan \(\mathbf T=(-\sin t,\cos t,0)\). \(\mathbf T\prime=(-\cos t,-\sin t,0)\) normu da 1: \(\mathbf N=(-\cos t,-\sin t,0)\). Çarpım \(\mathbf B=(0,0,1)\). Normal merkeze yönelir; binormal sabittir. Dersteki uzay eğrisinin Frenet üçlüsü \(\mathbf r(t)=(e^t,e^{-t},\sqrt2\,t)\) için \(t=0\) anındaki çatıyı bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf v(0)=(1,-1,\sqrt2)\), normu 2; \(\mathbf a(0)=(1,1,0)\). Dolayısıyla \(\mathbf T(0)=(1,-1,\sqrt2)/2\). \(\mathbf v(0)\cdot\mathbf a(0)=0\), süratin türevi o anda 0. \(\mathbf T\prime(0)=\mathbf a(0)/2\); normu \(1/\sqrt2\). Böylece \(\mathbf N(0)=(1,1,0)/\sqrt2\). \(\mathbf B(0)=(-1/2,1/2,1/\sqrt2)\). Üç vektörün normları 1 ve ikili skaler çarpımları sıfırdır. 3.15 Pekiştirme
Genel helisin eğriliği \(\mathbf r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)\), \(a>0\), için eğrilik nedir?
Adım adım çözümü göster \(\|\mathbf r\prime\|=\sqrt{a^2+b^2}\). \(\mathbf r\prime\times\mathbf r\prime\prime=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2)\), normu \(a\sqrt{a^2+b^2}\). \(\kappa=a/(a^2+b^2)\), \(\rho=(a^2+b^2)/a\). \(b=0\) olursa çember sonucu \(1/a\) elde edilir. Tahtadaki hareket örneği \(\mathbf r(t)=(5\cos t,5\sin t,6t^2)\). Hız, ivme ve bunların dik olduğu anı bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf v=(-5\sin t,5\cos t,12t)\), \(\mathbf a=(-5\cos t,-5\sin t,12)\). \(\mathbf v\cdot\mathbf a=25\sin t\cos t-25\sin t\cos t+144t=144t\). Yalnızca \(t=0\) anında diktirler. Üstel ve trigonometrik hareket \(\mathbf r(t)=(e^{-t},2\cos3t,2\sin3t)\). \(t=0\) anında hız, ivme büyüklükleri ve birim teğeti bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf v=(-e^{-t},-6\sin3t,6\cos3t)\), \(\mathbf a=(e^{-t},-18\cos3t,-18\sin3t)\). \(\mathbf v(0)=(-1,0,6)\), \(\|\mathbf v(0)\|=\sqrt{37}\); \(\mathbf a(0)=(1,-18,0)\), \(\|\mathbf a(0)\|=\sqrt{325}=5\sqrt{13}\). \(\mathbf T(0)=(-1,0,6)/\sqrt{37}\). Vektörü büyüklüğüyle karıştırmamak için sonucun türünü kontrol et. Parametrik eğrinin türü \(\mathbf r(t)=(2+3t,4+5t,6+4t)\) eğrisinin türünü bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf r(t)=(2,4,6)+t(3,5,4)\); sabit doğrultuda bir doğrudur. Simetrik biçim \((x-2)/3=(y-4)/5=(z-6)/4\). Kapalı eğri ve uç teğetler \(\mathbf r(t)=(t^2-4,t^3-4t,0)\), \(-2\le t\le2\). Basit ve kapalı mıdır?
Adım adım çözümü göster Her iki uç (0,0,0) olur. Farklı t ve s için eşit ilk koordinatlar s=-t gerektirir; ikinci koordinat eşitliği \(2t(t^2-4)=0\) verir. Farklı parametrelerle tek tekrar uçlarda t=2 ve s=-2 dir; t=0 kendi kendine aynı parametredir. Dolayısıyla basit kapalı eğridir. \(\mathbf r\prime=(-4,8,0)\) ve (4,8,0) uçlarda paralel değildir; kapama noktasında köşe vardır. Verilen parametrizasyon parçalı düzgün kapalı eğri olarak ele alınır. Türev ve ikinci türevin noktadaki değeri \(\mathbf r(t)=(1-\cos t,\sin t,t)\) için \(t=\pi/2\) anındaki ilk iki türevi bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf r\prime=(\sin t,\cos t,1)\), \(\mathbf r\prime\prime=(\cos t,-\sin t,0)\). Noktadaki değerler (1,0,1) ve (0,-1,0). Teğet noktası \((1,1,\pi/2)\), teğet doğrusu bu noktadan (1,0,1) yönünde geçer. Vektörel çarpımın türevini iki yoldan almak \(\mathbf U=(t,-t,t^2/2)\), \(\mathbf V=(t^4/4,t^3/3,t^2/2)\). Çarpımın türevini bulunuz.
Adım adım çözümü göster Önce çarpım: \(\mathbf U\times\mathbf V=(-t^3/2-t^5/6,t^6/8-t^3/2,t^4/3+t^5/4)\). Türev \((-3t^2/2-5t^4/6,3t^5/4-3t^2/2,4t^3/3+5t^4/4)\). Alternatif \(\mathbf U\prime\times\mathbf V+\mathbf U\times\mathbf V\prime\) aynı sonucu verir. Orta bileşenin t altıncı kuvvetinin türevi \(6t^5/8=3t^5/4\); defterdeki bu satır sadeleştirilerek kontrol edildi. Sabit normun türevi \(\mathbf r(t)=(a\cos t,a\sin t,0)\), a>0, için hızın konuma dik olduğunu kanıtlayınız.
Adım adım çözümü göster \(\mathbf r\prime=(-a\sin t,a\cos t,0)\); konumla çarpım \(-a^2\sin t\cos t+a^2\sin t\cos t=0\). Genel gerekçe: \(\mathbf r\cdot\mathbf r=a^2\) sabit olduğundan türevi \(2\mathbf r\cdot\mathbf r\prime=0\). 3.23 Pekiştirme
Dairesel harekette ivme \(\mathbf r(t)=(a\cos\omega t,a\sin\omega t,0)\), \(a>0,\omega\ne0\) için \(a_T,a_N\) nedir?
Adım adım çözümü göster Sürat \(a|\omega|\) sabit olduğundan \(a_T=0\). Eğrilik \(1/a\). \(a_N=(1/a)(a^2\omega^2)=a\omega^2\). İvme tamamen içeriye yönelir; sürat sabit olmasına rağmen sıfır değildir. Disk ve eğik şerit \(f(x,y)=\sqrt{64-x^2-y^2}\) ve \(g(x,y)=\arccos(x-y)\) için tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Adım adım çözümü göster İlkinde \(x^2+y^2\le64\): merkezi orijin, yarıçapı 8 olan kapalı disk. Çıktılar \([0,8]\); grafik üst yarım küredir. İkincide \(-1\le x-y\le1\), yani \(x-1\le y\le x+1\). Sınır doğruları dahil bir şerit. Görüntü \([0,\pi]\). Kök ve logaritmayı birlikte ele almak \(f(x,y)=\sqrt{xy}+\log(1-x^2-y^2)\) fonksiyonunun tanım bölgesini bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(xy\ge0\) ve \(x^2+y^2<1\) birlikte gerekli. Bölge açık birim diskin birinci ve üçüncü bölgelerde kalan parçaları ile disk içindeki eksen parçalarıdır. Eksenler dahildir; çember dahil değildir. İşaret ayırımı gerektiren kök \(f(x,y)=\sqrt{xy-x^4}+xy\) ve \(g(x,y)=\sqrt{x^2-y}+x^2+y^2+1\) tanım bölgelerini bulunuz.
Adım adım çözümü göster İlkinde \(x(y-x^3)\ge0\). \(x>0\) iken \(y\ge x^3\), \(x<0\) iken \(y\le x^3\); \(x=0\) iken her y geçerlidir. Sonuç \(\{x>0,y\ge x^3\}\cup\{x<0,y\le x^3\}\cup\{x=0\}\). İkincide \(y\le x^2\). Parabol ve altı dahildir. İlk soruda x ile bölmeden önce x işareti ayrılmazsa bölgenin yarısı kaybolur. Her yerde tanımlı logaritma \(\ln(x^2+y^2+4)\) için tanım kümesi nedir?
Adım adım çözümü göster \(x^2+y^2+4\ge4>0\) her noktada doğrudur. Dolayısıyla tanım kümesi \(\mathbb R^2\). Logaritma artan olduğundan görüntü kümesi \([\ln4,\infty)\). Paraboloidin seviye eğrileri \(f(x,y)=x^2+y^2\) için \(c=0,1,4\) seviyelerini bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(c=0\) için yalnızca orijin, \(c=1\) için yarıçapı 1 çember, \(c=4\) için yarıçapı 2 çember vardır. \(c<0\) için seviye kümesi boştur. Yüzey \(z=x^2+y^2\) yukarı açılan paraboloiddir. Polinom limiti \(P(x,y)=5x^2y^2+4xy^3-8xy^2+3\) için \((x,y)\to(1,2)\) limitini bulunuz.
Adım adım çözümü göster Polinom her yerde süreklidir; limit \(P(1,2)\). \(5\cdot1\cdot4+4\cdot1\cdot8-8\cdot1\cdot4+3=20+32-32+3=23\). Dersin kısa limitleri \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(2x^2+y^2+1)/(x^2+y^2+3)\), \(\lim_{(x,y)\to(0,\ln2)}e^{x-y}\), \(\lim_{(x,y)\to(1,0)}x\sin y/(x^2+1)\) nedir?
Adım adım çözümü göster İlk payda 3 olur; limit \(1/3\). İkinci ifade süreklidir: \(e^{-\ln2}=1/2\). Üçüncü payda 2 ve sinüs sıfır olur; limit 0. Eşlenikle sadeleştirme \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}[2-\sqrt{xy+4}]/(xy)\) hesaplayınız.
Adım adım çözümü göster İfade kendi tanım kümesinde \(xy\ne0\) koşuluyla incelenir. Eşlenikle çarpınca pay \(4-(xy+4)=-xy\). Yakında \(-1/[2+\sqrt{xy+4}]\) ile aynı olur. Bu sürekli ifadenin limiti \(-1/4\). Fonksiyonun eksenlerde tanımsız olması limit almayı engellemez. Sinüs içeren limitler \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sin(xy)/x\) ve \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}e^y\sin x/x\) hesaplayınız.
Adım adım çözümü göster İlk ifade, uygun noktalarda \(y[\sin(xy)/(xy)]\) olur. Standart \(\sin u/u\to1\) limiti ve \(y\to0\) ile sonuç 0. Doğrudan \(|\sin(xy)/x|\le|y|\) sınırı da aynı sonucu verir. İkincide \(e^y\to1\) ve \(\sin x/x\to1\); sonuç 1. Her iki limitte yaklaşım fonksiyonun tanımlı olduğu noktalar üzerindendir. Doğruya bağlı sonuç \(f(x,y)=2xy/(x^2+y^2)\) için orijindeki limiti inceleyiniz.
Adım adım çözümü göster \(y=0\) yolunda değer 0; \(y=x\) yolunda, \(x\ne0\) için değer 1. İki yol aynı noktaya gider fakat sonuçlar farklıdır. Dolayısıyla limit yoktur. Genel \(y=mx\) yolunda \(2m/(1+m^2)\) çıkar. Parabol yoluyla limitin yokluğu \(f(x,y)=(x^4-y^2)/(x^4+y^2)\) için orijindeki limiti inceleyiniz.
Adım adım çözümü göster \(y=0\) boyunca değer 1; \(y=x^2\) boyunca değer 0. İki sonuç farklı, limit yok. Genel \(y=ax^2\) yolunda \((1-a^2)/(1+a^2)\) çıkar. Bu örnek, paydadaki dereceleri eşleştirerek uygun yol seçmeyi öğretir. İki başka karşı örnek \((x-y)/(x+y)\), \(x/\sqrt{x^2+y^2}\) ve \((x^2+y^2)/y^2\) orijinde limite sahip midir?
Adım adım çözümü göster İlkinde \(y=0\) yolu 1, \(x=0\) yolu -1 verir. İkinci ifadede pozitif x ekseni 1, negatif x ekseni -1 verir. İkisinin de limiti yoktur. Üçüncüde y sıfır olamaz; \(y=x\) yolunda 2, \(y=2x\) yolunda \(5/4\) çıkar. Bu limit de yoktur. Tanımsız yolları test yolu olarak seçme. Dersteki parçalı fonksiyonun sürekliliği \(f(x,y)=\sin(xy^2)/(x^2+y^2)\) orijin dışında, \(f(0,0)=0\) olsun. Her yerde sürekli olduğunu gösteriniz.
Adım adım çözümü göster Orijin dışında payda sıfır değildir, dolayısıyla süreklidir. Orijinde \(|\sin u|\le|u|\) kullanılır. \(|f(x,y)|\le |x|y^2/(x^2+y^2)\le|x|\le\sqrt{x^2+y^2}\to0\). Böylece limit 0 olur ve atanmış değere eşittir. Kutupsal yazım da sınırı \(r|\cos\theta|\sin^2\theta\le r\) yapar. Bu tüm açılar için geçerli olduğu için kanıttır. 4.14 Pekiştirme
Bütün doğruların aynı sonucu vermesi yetmez \(f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)\) orijinde limite sahip midir?
Adım adım çözümü göster \(y=mx\) ve sabit \(m\ne0\) için \(f=mx/(x^2+m^2)\to0\). \(m=0\) ve dikey eksen de 0 verir. Fakat \(y=x^2\) boyunca \(f=1/2\). Bu nedenle limit yoktur. Bütün doğruların kontrol edilmesi bile genel limit için yeterli değildir. Dersteki temel kısmi türev \(f(x,y)=x^2y^3+3x\) için birinci kısmi türevleri bulunuz.
Adım adım çözümü göster x yönünde y sabittir: \(f_x=2xy^3+3\). y yönünde x sabittir: \(f_y=3x^2y^2\). Örneğin \((1,2)\) noktasında \(f_x=19\), \(f_y=12\). Bunlar yüzeyin koordinat kesitlerindeki eğimleridir. 5.2 Pekiştirme
Limit tanımıyla kısmi türev \(f(x,y)=x^2y\) için \(f_x(a,b)\) değerini tanımdan bulunuz.
Adım adım çözümü göster \([f(a+h,b)-f(a,b)]/h=[(a+h)^2b-a^2b]/h=2ab+bh\). h sıfıra giderken \(f_x(a,b)=2ab\) elde edilir. Bu, diğer değişkeni neden sabit tuttuğumuzu doğrudan gösterir. Dersteki rasyonel fonksiyonun ikinci türevleri \(f(x,y)=xy/(x^2+y^2)\), \((x,y)\ne(0,0)\) için ikinci kısmi türevleri bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(S=x^2+y^2\) kısaltmasıyla bölüm kuralından \(f_x=y(y^2-x^2)/S^2\), \(f_y=x(x^2-y^2)/S^2\). \(f_{xx}\) için \(-2xy/S^2-4xy(y^2-x^2)/S^3\) ortak paydada toplanır: \(f_{xx}=2xy(x^2-3y^2)/S^3\). Simetriyle \(f_{yy}=2xy(y^2-3x^2)/S^3\). Karma türev \(f_{xy}=(-x^4+6x^2y^2-y^4)/S^3\). Orijin dışında türevler süreklidir; \(f_{yx}=f_{xy}\). Orijinde başlangıç fonksiyonu tanımlı olmadığı için bu formüller orijine uygulanmaz. 5.4 Pekiştirme
Kısmi türevler var, süreklilik yok \(f(x,y)=xy/(x^2+y^2)\) orijin dışında, \(f(0,0)=0\) olsun. Orijinde kısmi türevleri ve türevlenebilirliği inceleyiniz.
Adım adım çözümü göster Eksenler boyunca fonksiyon sıfırdır. Bu yüzden \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\). \(y=x\) boyunca değer \(1/2\), dolayısıyla fonksiyon orijinde sürekli değildir. Sürekli olmayan fonksiyon türevlenebilir olamaz. 5.5 Pekiştirme
Teğet düzlem ve lineer model \(f(x,y)=x^2+y^2\) için \((1,2,5)\) noktasındaki teğet düzlemi ve normal doğruyu bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(f_x=2x,f_y=2y\). Noktadaki eğimler 2 ve 4. Düzlem \(z-5=2(x-1)+4(y-2)\), yani \(z=2x+4y-5\). Normal doğru \((x,y,z)=(1,2,5)+t(-2,-4,1)\). Normalin işaretini ters almak aynı doğruyu verir. Dersteki üstel fonksiyonun iki lineerleştirmesi \(f(x,y)=e^{2y-x}\) için \(P=(0,0)\) ve \(Q=(1,2)\) merkezlerindeki lineerleştirmeleri bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(f_x=-e^{2y-x}\), \(f_y=2e^{2y-x}\). P merkezinde \(L_P=1-x+2y\). Q merkezinde \(f=e^3,f_x=-e^3,f_y=2e^3\). Bu yüzden \(L_Q=e^3-e^3(x-1)+2e^3(y-2)=e^3(2y-x-2)\). Her model kendi merkezinin yakınında kullanılır. Örneğin \(f(0.01,0.02)=e^{0.03}\approx1.03\); bu hedef P merkezine yakındır. 5.7 Pekiştirme
Karekökün yaklaşık değeri \(\sqrt{(3.01)^2+(3.98)^2}\) ifadesini diferansiyel veya lineer modelle yaklaşık hesaplayınız.
Adım adım çözümü göster \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\), merkez \((3,4)\), \(f=5\). \(f_x=3/5,f_y=4/5\). \(h=0.01,k=-0.02\). Yaklaşık değer \(5+(3/5)(0.01)+(4/5)(-0.02)=4.99\). Defterdeki hata sınırı \(f=x^2+3xy+2y^2+4\), merkez \((2,1)\), \(|x-2|,|y-1|\le0.01\). Lineerleştirmeyi ve hata sınırını bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(f(2,1)=16\), \(f_x(2,1)=7\), \(f_y(2,1)=10\). \(L=16+7(x-2)+10(y-1)=7x+10y-8\). \(f_{xx}=2,f_{xy}=3,f_{yy}=4\). M=4 seçilir; hata en fazla \(\tfrac42(0.01+0.01)^2=0.0008\). Kontrol: gerçek kalan \(h^2+3hk+2k^2\) olur. Mutlak değer için daha sıkı \(0.0006\) sınırı da mümkündür; dersteki \(0.0008\) güvenli ve doğrudur. İkinci hata sınırı sorusu \(f=x^2-3xy+y^2\), merkez \((1,2)\), \(|x-1|,|y-2|\le0.1\). L ve güvenli hata sınırını bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(f(1,2)=-1,f_x=-4,f_y=1\) olduğundan \(L=-1-4(x-1)+(y-2)=-4x+y+1\). İkinci türevlerin mutlak değerleri 2,3,2; M=3. Hata \(\le(3/2)(0.1+0.1)^2=0.06\). Küçük bölgede kosinüs hatası \(f(x,y)=1+x+\cos y\), merkez \((0,0)\), \(|x|,|y|\le0.2\). L ve hata sınırını bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(f(0,0)=2,f_x=1,f_y(0,0)=0\). Böylece \(L=2+x\). \(f_{xx}=f_{xy}=0,|f_{yy}|=|\cos y|\le1\). Genel sınır 0.08 verir; yalnız y yönündeki gerçek ikinci terim kullanılırsa \(|f-L|=|\cos y-1|\le y^2/2\le0.02\). Tahtadaki silindir hacmi değişimi Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirde yarıçap 0.01 cm artsın, yükseklik 0.1 cm azalsın. Hacim değişimini yaklaşık bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(V=\pi r^2h\); \(dV=2\pi rh\,dr+\pi r^2\,dh\). \(dr=0.01,dh=-0.1\). \(dV=60\pi(0.01)+9\pi(-0.1)=-0.3\pi\) santimetre küp. Başlangıç hacmi \(90\pi\), yeni hacim yaklaşık \(89.7\pi\). Tam değer \(\pi(3.01)^2(9.9)=89.69499\pi\). Yaklaşık ve tam değer arasındaki fark \(0.00501\pi\); yüksek mertebeli terimlerden gelir. Silindir için ikinci ders sorusu Yarıçap 10 cm den 9.9 cm ye, yükseklik 30 cm den 30.3 cm ye değişiyor. Yaklaşık hacim değişimi nedir?
Adım adım çözümü göster \(dr=-0.1,dh=0.3\). \(dV=2\pi(10)(30)(-0.1)+\pi(100)(0.3)=-30\pi\) santimetre küp. Başlangıç hacmi \(3000\pi\), yeni hacim yaklaşık \(2970\pi\). İşaret hacmin azaldığını gösterir. Tahtadaki polinom diferansiyeli \(f=x^3+5xy^2+3xy+4x-3y+5\) için df ve ikinci diferansiyeli yazınız.
Adım adım çözümü göster \(f_x=3x^2+5y^2+3y+4\), \(f_y=10xy+3x-3\). df bu katsayılarla dx ve dy nin toplamıdır. \(f_{xx}=6x,f_{xy}=10y+3,f_{yy}=10x\). Dolayısıyla \(d^2f=6x\,dx^2+2(10y+3)dx\,dy+10x\,dy^2\). Üç değişkenli polinomun diferansiyelleri \(w=3x^2yz^2-3xy+2yz^2+xyz\) için birinci ve ikinci diferansiyeli bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(w_x=6xyz^2-3y+yz\), \(w_y=3x^2z^2-3x+2z^2+xz\), \(w_z=6x^2yz+4yz+xy\). \(dw=w_xdx+w_ydy+w_zdz\). \(w_{xx}=6yz^2,w_{yy}=0,w_{zz}=6x^2y+4y\). Karma türevler \(w_{xy}=6xz^2-3+z\), \(w_{xz}=12xyz+y\), \(w_{yz}=6x^2z+4z+x\). İkinci diferansiyel bu altı katsayı yukarıdaki genel formüle yerleştirilerek elde edilir. Her karma terimin katsayısı 2 ile çarpılır. Tahtadaki trigonometrik zincir örneği \(z=x^2+y^2\), \(x=\cos t+\sin t\), \(y=\cos t-\sin t\). dz/dt nedir?
Adım adım çözümü göster \(z_x=2x,z_y=2y\); \(x\prime=-\sin t+\cos t\), \(y\prime=-\sin t-\cos t\). Zincir toplamı 0 olur. Doğrudan kontrol: \((\cos t+\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2=2\). Sabit fonksiyonun türevi 0. Çarpanlı fonksiyonda zincir kuralı \(z=xy\), \(x=\cos t,y=\sin t\). dz/dt yi bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(z_x=y,z_y=x\). Böylece \(z\prime=\sin t(-\sin t)+\cos t\cos t=\cos^2t-\sin^2t\). Doğrudan \(z=\tfrac12\sin2t\) türevi de \(\cos2t\), aynı sonuçtur. Tahtadaki logaritma örneği \(z=\ln(x^2+y^2)\), \(x=e^u\cos v,y=e^u\sin v\). \(z_u,z_v\) nedir?
Adım adım çözümü göster \(f_x=2x/(x^2+y^2)\), \(f_y=2y/(x^2+y^2)\). \(x_u=x,y_u=y,x_v=-y,y_v=x\). \(z_u=2(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=2\); \(z_v=(-2xy+2xy)/(x^2+y^2)=0\). Kontrol: \(x^2+y^2=e^{2u}\), dolayısıyla \(z=2u\). Üç ara değişkenli ders örneği \(S=\ln(x^2+y^2+z^2)\), \(x=u+v,y=u-v,z=2\sqrt{uv}\). Pozitif u ve v için \(S_u,S_v\) bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(x_u=x_v=1,y_u=1,y_v=-1,z_u=v/\sqrt{uv},z_v=u/\sqrt{uv}\). Payda \(x^2+y^2+z^2=2(u+v)^2\). Zincir toplamları \(S_u=S_v=2/(u+v)\). Doğrudan \(S=\ln2+2\ln(u+v)\) aynı sonucu verir. \(u,v>0\) seçimi kökün içte türevlenmesini ve logaritmanın tanımını güvenceye alır. İki bağımsız yeni değişkenle karmaşık örnek \(z=e^{x/y}\), \(x=\sin u,y=u^2v\), \(u,v\ne0\). \(z_u,z_v\) yi bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(f_x=e^{x/y}/y\), \(f_y=-xe^{x/y}/y^2\). \(x_u=\cos u,x_v=0,y_u=2uv,y_v=u^2\). \(z_u=e^{\sin u/(u^2v)}[\cos u/(u^2v)-2\sin u/(u^3v)]\). \(z_v=-e^{\sin u/(u^2v)}\sin u/(u^2v^2)\). İç ifadeyi önce sadeleştirip türev almak da kontrol yöntemidir. Tahtadaki kapalı türev sorusu \(2x^4z^3+3xy^2+4xz+3y+5x-23=0\) denkleminin tanımladığı z(x,y) için \((1,2)\) noktasında \(z_x,z_y\) nedir?
Adım adım çözümü göster Önce z bulunur: \(2z^3+4z=0\). Gerçek çözüm \(z=0\); inceleme noktası \((1,2,0)\). \(F_x=8x^3z^3+3y^2+4z+5\), \(F_y=6xy+3\), \(F_z=6x^4z^2+4x\). Noktada \(F_x=17,F_y=15,F_z=4\ne0\). Böylece \(z_x=-17/4,z_y=-15/4\). Yerel z(x,y) yorumu geçerlidir. 6.7 Pekiştirme
Kapalı denklemin teğet düzlemi \(x^2+y^2+z^2=9\) küresinin \((1,2,2)\) noktasındaki teğet düzlemi nedir?
Adım adım çözümü göster \(F=x^2+y^2+z^2-9\), gradyanı \((2x,2y,2z)\). Noktada normal \((2,4,4)\). \(2(x-1)+4(y-2)+4(z-2)=0\), yani \(x+2y+2z=9\). Bu normal merkezden noktaya giden yarıçapla paraleldir. Dersteki diferansiyel denklem dönüşümü \(x=e^t\) dönüşümü altında \(x^2y_{xx}+xy_x-y=0\) denklemini t değişkenine dönüştürünüz.
Adım adım çözümü göster \(dt/dx=1/x\). Dolayısıyla \(y_x=y_t/x\). Yeniden x türevi: \(y_{xx}=(y_{tt}-y_t)/x^2\). Burada hem \(y_t\) hem \(1/x\) türevlenir. Denklem \((y_{tt}-y_t)+y_t-y=0\), yani \(y_{tt}-y=0\) olur. Dönüşüm \(x>0\) için geçerlidir. 6.9 Pekiştirme
Birim olmayan yönden yönlü türev \(f(x,y)=x^2y+3y\), \(P=(1,2)\), yön \(\mathbf v=(3,4)\). Yönlü türev nedir?
Adım adım çözümü göster \(f_x=2xy,f_y=x^2+3\). \(\nabla f(1,2)=(4,4)\). Yönün normu 5; \(\mathbf u=(3/5,4/5)\). \(D_{\mathbf u}f=4(3/5)+4(4/5)=28/5\). Birimleştirmeden alınan 28 sonucu, parametre hızını 5 katına çıkarır ve bu sorunun istediği birim uzunluk başına türev değildir. 6.10 Pekiştirme
P den Q ya doğru değişim \(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), \(P=(1,0,2)\), \(Q=(3,1,4)\). P de Q yönündeki türev nedir?
Adım adım çözümü göster \(Q-P=(2,1,2)\), norm 3; birim yön \((2,1,2)/3\). \(\nabla F(P)=(2,0,4)\). Skaler çarpım \((4+0+8)/3=4\). Sonucun pozitif olması bu yönde ilk anda alan değerinin arttığını gösterir. 6.11 Pekiştirme
Gradyanla yön seçmek \(f=x^2+2y^2\) için P=(1,1) noktasında en hızlı artış yönü, hızı ve sıfır değişim yönü nedir?
Adım adım çözümü göster \(\nabla f=(2x,4y)\); P de \((2,4)\), norm \(2\sqrt5\). En hızlı artış birim yönü \((1,2)/\sqrt5\), hızı \(2\sqrt5\). En hızlı azalış ters yönde ve türev \(-2\sqrt5\). Sıfır türev yönlerinden biri \((-2,1)/\sqrt5\), çünkü \((2,4)\cdot(-2,1)=0\). 6.12 Pekiştirme
Seviye eğrisinin teğet doğrusu \(x^2+2y^2=3\) eğrisinin (1,1) noktasındaki teğeti nedir?
Adım adım çözümü göster Gradyan \((2,4)\) teğete normaldir. \(2(x-1)+4(y-1)=0\), yani \(x+2y=3\). Bu doğrultu önceki örnekteki sıfır yönlü türev doğrultusuyla aynıdır. Teğet doğrusu eğriye yalnızca yerel olarak yaklaşır. 6.13 Pekiştirme
Birleşik pekiştirme \(f(x,y)=e^{x-y}\), P=(0,0). P de teğet düzlem, \((1,1)\) yönünde türev ve en hızlı artış yönünü bulunuz.
Adım adım çözümü göster \(f(P)=1,\nabla f(P)=(1,-1)\). Grafik üzerindeki teğet düzlem \(z=1+x-y\). Birim yön \((1,1)/\sqrt2\); yönlü türev 0. En hızlı artış yönü \((1,-1)/\sqrt2\), artış hızı \(\sqrt2\). \(x=y\) doğrusu üzerinde fonksiyon gerçekten 1 dir. Bu örnekte sıfır türev sabit seviye doğrultusuna karşılık gelir; her fonksiyonda böyle küresel bir sonuç çıkarılmaz. Bu filtrelerle eşleşen soru bulunamadı.